1.1. Основные черты математического мышления

 

    Слово «задача» употребляется в весьма широком смысле. Жизнь ставит перед нами множество разнообразных задач. Желание человека может иногда проводить к задаче. Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недопустимой цели. Решение задачи означает нахождение этого средства. Задача может быть сложной или простой, трудность решения входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. Решение задач – специфическое достижение разума, разум же – особый дар, которым наделен человек.

    При решении задач может оказаться полезной их классификация, проведение различия между задачами в соответствии с их типами. Хорошая классификация предполагает разбиение задач на такие типы, что тип задачи предопределяет метод ее решения. Существует два весьма общих типов задач: задачи на нахождение и задачи на доказательство. Конечной целью задачи на нахождение является нахождение (построение, проведение, получение, отождествление) некоторого объекта, т.е. неизвестного данной задачи. Конечной целью задачи на доказательство является установление правильности или ложности некоторого утверждения, подтверждение его или опровержение. Целью задачи на нахождение является нахождение определенного объекта, неизвестного этой задачи, удовлетворяющего условию задачи, которое связывает неизвестное с данными этой задачи. Неизвестное может принадлежать к самым разнообразным категориям. В геометрических задачах на построение неизвестное – это фигура, при решении алгебраических уравнений – это число, корень данного уравнения. Когда мы спрашиваем: «Что он сказал?», неизвестным может быть слово или несколько слов, предложение, сказанное. Четко сформулированная задача должна указывать категорию (множество), к которой принадлежит неизвестное; мы должны знать с самого начала, какого рода неизвестное мы предполагаем найти: треугольник, или число, или слово. Четко сформулированная задача должна точно устанавливать условие, которому обязано удовлетворять неизвестное. В математических задачах используется термин «данные», чтобы указать все заданные объекты, связанные с неизвестным при помощи условия. Неизвестное, условие и данные называются главными частями на нахождение. В задачах на доказательство предстоит снять сомнение в правильности четко сформулированного утверждения А – мы должны доказать или опровергнуть. Задача на доказательство состоит из условия и заключения, первая часть, начинающаяся словом «если», является условием, вторая часть, начинающаяся словом «то», - заключением. Условие и заключение являются главными частями на доказательство.

    Решение многих задач зависит от процедуры, линии действия, схемы увязанных между собой операций. Процесс решения задачи – результат умственных усилий – есть доказательство, т.е. последовательность хорошо координированных логических операций или шагов, начинающихся с условия (предпосылки) и заканчивающихся заключением теоремы, к которому мы стремились, каждый шаг приводит к некоторому новому положению, полученному соответствующим образом подобранных частей условия (предпосылки), или у уже известных фактов, или из ранее доказанных положений.

    Объектом наших поисков может оказаться неизвестное любой природы или раскрытие истины, относящейся к любому виду вопросов, задача может быть теоретической или практической. Чтобы решить ее, мы должны составить хорошо продуманную, согласованную схему операций (логических, математических или материально обеспечивающих), начинающуюся с условия (предпосылки) и заканчивающуюся заключением, ведущую от данных к неизвестному, от объектов, находящихся в нашем распоряжении, к объектам, которых мы собираемся достичь.

    Существенным ингредиентом процесса решения всякой задачи является желание, стремление, решимость ее решить. Иногда задача овладевает решающим настолько, что он становится рассеянным, перестает понимать вещи, кажущиеся очевидными для окружающих. Внимание решающего задачу избирательно. Оно отказывается задерживаться на вещах, которые кажутся не относящимися к его задаче, и видит издалека мельчайшие вещи, имеющие к ней какое-то отношение. Это – направленное, настороженное внимание.

    Как только мы начинаем серьезно заниматься какой-нибудь задачей, нас что-то побуждает заглядывать вперед, мы пытаемся предвидеть, что будет дальше: мы ждем чего-то, мы стремимся угадать контур решения. Всем занимающимся решением задач приходится строить догадки или выдвигать предположения, однако между догадками наивного решающего и вдумчивого человека имеется разница. Вдумчивый и опытный решающий, когда ему не удается получить полностью весь ответ, пытается угадать какую-то его часть, какую-нибудь его характерную черту, какое-то приближение к решению или хотя бы некоторую деталь этого приближения. Затем он старается расширить свою догадку, одновременно отыскивая возможности для ее проверки, тем самым он старается привести свою догадку в соответствие с наиболее полными сведениями, которыми он обладает на данном этапе решения. Во многих случаях у решающего может быть определенное ощущение перспективности своей догадки. Итак, помимо ощущения того, что относится и что не относится к рассматриваемой задаче, помимо ощущения близости решения, мы отмечаем в мышлении решающего существование еще одной разновидности ощущения: предвидения.

    Как только мы серьезно заинтересовались задачей, мы стараемся наметить контур, внутри которого следует искать ее решение. Этот контур может быть неопределенным, но именно он определяет наши будущие действия. Мы ищем определенное решение, которое должно находиться внутри нашего ограниченного контура. Мы не ищем решения где-то по всему свету, а внутри ограниченной области поисков.

    Процесс решения задачи может быть как длинная, извилистая дорога к цели, каждый поворот которой отмечен принятием того или иного промежуточного решения. Одним из важнейших типов промежуточного решения является решение о расширении области поиска, об отбрасывании ограничения, узость которого начинает нас стеснять.

    Приступая к решению задачи, необходимо подробно изучить главные части задачи. Необходимо ясно видеть, в чем состоят желаемое заключение и предпосылка, из которой оно должно следовать, или же искомое неизвестное, имеющиеся в распоряжении данные и условие, связывающие данные с неизвестным. Главные части предваряют прочие части. Та или другая из главных частей может подразделяться: предпосылка может состоять из нескольких утверждений, условие – из нескольких пунктов; неизвестное может быть составным, включающем несколько компонент; данных может быть несколько, хотя при первоначальном изучении мы рассматривали их как одно целое.

    В процесс решения задачи необходимо поставить себе вопрос: Что требуется? и тем самым поставить цель в центр внимания. Целью задачи на нахождение является неизвестное. Чтобы сосредоточить свое внимание на этой цели, спросите себя: Что представляет собой неизвестное? Целью задачи на доказательство является заключение, вывод, - в этом случае соответствующий вопрос будет иметь форму: В чем состоит заключение? После того, как можно ясно различить цель задачи, т.е. искомый объект, необходимо приступить к инвентаризации всего, что имеется в распоряжении, с тем, чтобы выделить объекты, которые с некоторой вероятностью могут быть использованы для достижения цели; нужно спросить себя: Что у нас имеется? Допустим, мы хотим установить связь между двумя элементами, проложить себе путь от одного элемента к другому; здесь может помочь поочередное рассмотрение этих элементов – начать с одного из них, а затем переходить к другому. Здесь появляется возможность задать себе вопросы: Что требуется? Что мы приобрели? Применительно к задачам на нахождение эти вопросы звучат так: Что представляет собой неизвестное? Что дано? В чем состоит условие? Применительно к задачам на доказательство эти вопросы будут такими: В чем состоит заключение? В чем состоит условие (предпосылка)? Эти вопросы побуждают нас обращать внимание на указанные элементы задачи. Метод решения задачи состоит в том, чтобы направлять свое внимание на все относящиеся к делу элементы, один за другим, в надлежащей последовательности. Конечная цель подсказывает средства, изучение цели (неизвестного, заключения) может помочь найти подход к решению задачи. Один вопрос порождает другой: Что требуется? Что представляет собой неизвестное? Каким образом можно найти подобное неизвестное? Какие требуются данные, чтобы получить такое неизвестное? Именно эти вопросы могут явиться началом пути, основанного на продвижении в обратную сторону. Часто оказывается, что мы не в состоянии составить удовлетворительный план – ни план, связанный с продвижением в прямом направлении, ни план движения в обратном направлении. В этом случае найти подход к решению задачи помогут следующие вопросы: К какому типу относится рассматриваемая задача? Не родственна ли она какой-нибудь другой известной задаче? Пытаясь классифицировать задачу, стараясь обнаружить ее связь или сходство с известными нам задачами, можно напасть на знакомый метод, подходящий к рассматриваемой задаче, а тогда уже есть с чего начинать – мы видим первый участок пути, который, возможно, ведет к решению.

    Если область, к которой принадлежит рассматриваемая задача, знакома, то необходимо знать ее «ключевые пункты» – факты, которыми вероятнее всего придется воспользоваться. Это могут быть задачи с тем же неизвестным; теоремы, имеющие то же заключение.

    Допустим, что при решении задачи, мы не удовлетворены, как продвигается работа. Нужно попытаться вернуться назад к первоначальной концепции задачи, взглянуть еще раз на неизвестное, на данные и условие задачи, на ее предпосылку и заключение. Приняли ли мы во внимание полностью все условия? Использовали ли мы все данные? Учли ли мы целиком всю предпосылку? Использовали ли мы все ее части? Беда может состоять в том, что мы недостаточно отчетливо представляем себе значение основных терминов, содержащиеся в условии задачи. Это побуждает нас вернуться назад к определениям некоторых понятий и, таким образом, навести мысль о расширении концепции задачи, это поможет более успешно сформулировать условие задачи и найти новые полезные элементы.

 

1.2. Аксиомы в школьном курсе математики. Примеры и анализ методов вывода

 

    Начальные геометрические сведения дошли до нас из глубокой древности. Начальные геометрические знания были добыты опытным путем. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) началось от древнегреческого ученого Фалеса (4 в. до н.э.). Постепенно доказательства приобретают в геометрии все большее значение. К 3 в. до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем вывода (дедукции), доказательства. К этому времени относится книга «Начала», написанная древнегреческим ученым Евклидом. В этой книге Евклид проводит аксиоматический взгляд на геометрию. Точка зрения Евклида была следующей. Взяв какую-либо теорему, можно проследить, какие ранее доказанные теоремы были использованы при ее выводе. Для этих ранее доказанных теорем в свою очередь можно выделить те более простые факты, из которых они выводятся, и т.д. В конце концов получается набор некоторых фактов, которые позволяют доказать все изучаемые теоремы геометрии. Эти выделенные факты настолько просты, что не возникает вопроса о необходимости их вывода. Их назвали аксиомами (удостоенное, принятое положение). Весь набор аксиом (система) называется аксиоматикой. Таким образом, аксиомы – это первоначальные факты, которые принимаются без доказательства и позволяют вывести из них все дальнейшие факты этой науки. Утверждения, выводимые из аксиом, называются теоремами.

    Среди сформулированных Евклидом аксиом имеются, например, следующие: «через две точки можно провести прямую», «порознь равные третьему равны между собой», «если в плоскости даны прямая и лежащая вне этой прямой точка, то через эту точку можно провести в плоскости не более одной прямой, которая не пересекается с данной». Аксиоматика элементарной геометрии содержит около двух десятков аксиом. Аксиомы есть не только в геометрии, но и в алгебре, и других математических науках. Например, равенства:

а + в = в + а                              а в = в а

а + ( в + с ) = ( а + в ) + с         а ( в с ) = (а в ) с

а + 0 = а                                    а  1 = а

а + ( - а ) = 0                             а  (    ) = 1, ( а = 0)

           а ( в + с ) = а в + в с,

выражающие свойства сложения и умножения, являются в алгебре аксиомами: они принимаются без доказательства и используются для вывода новых фактов (для доказательства теорем). Например, с помощью аксиом доказывают формулы квадрата суммы или разности, правила умножения многочленов, формулу суммы членов геометрической прогрессии и т.д. Важнейшую роль в современной математике играет аксиоматика группы, метрического и векторного пространств, теории вероятностей.

    Аксиоматический метод – важный научный инструмент познания мира. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строятся на основе аксиоматического метода. Развив ту или иную аксиоматическую теорию, мы можем, не проводя повторных рассуждений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматриваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматически развитые теории применять в различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода.

    Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо области математики заключается в следующем: во-первых, перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия; во-вторых, указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями; в-третьих, с помощью определений (определение – математическое предложение, предназначенное для введения нового понятия на основе уже известных нам понятий) вводятся дальнейшие понятия и, в-четвертых, исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты – теоремы. Некоторым видам теорем дают особые названия, например: лемма, следствие. Они имеют дополнительный оттенок. Леммой обычно называют вспомогательную теорему, саму по себе мало интересную, но нужную для дальнейшего. Следствием называют утверждение, и которое может быть легко выведено из чего-то ранее доказанного. Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта. Поэтому очевидно, что все последующие факты, выводимые в аксиоматической теории, хотя их получают на основе системы аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеют тесную связь с жизнью и могут быть применены в практической деятельности человека.

    Всякую теорему можно разделить на две части: условие и заключение, хотя в конкретной формулировке они могут явно и не выделяться. Например, хорошо известную теорему Виета обычно формулируют так: сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при х ; произведение корней равно свободному члену, деленному на коэффициент при х . Условие теоремы состоит в том, что предполагается существование корней уравнения. Такое предположение легко ускользает от внимания, а это может привести к ошибке при решении той иной задачи. А поэтому теоремы очень часто формулируют в виде условных предложений: «если … то». Часть такого предложения, следующая после «если», - условие теоремы, а другая часть, после «то», - ее заключение.

 

2.1. Основные определения и теоремы математической логики и теории вывода

   

    Математическая логика исследует способы рассуждений, применяемые в математике. Математики строят и развивают математические теории, дают определения, доказывают теоремы. Специалисты по математической логике, наблюдая за этим, анализируют, как математики это делают и что при этом получается. Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий. Математическая логика строит математические модели для процесса развития математических теорий. Основным объектом изучения в математической логике являются различные исчисления. В понятие исчисления входят такие основные компоненты, как – язык исчисления, аксиомы исчисления, правила вывода. Понятие исчисления позволяет дать строгое математическое определение  доказательства и получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории. Математическая логика делает это с помощью специального формального языка, предназначенного для записи математических утверждений. Утверждения, записанные на формальных языках, называют формулами, чтобы отличить их от предложе­ний естественных языков. Построив фор­мальный язык, мы получаем возможность записывать некоторые математические утверждения в виде формул. Этого, разумеется, еще не достаточно. Нам нужно уметь записы­вать формально не только утверждения, но и доказательства. для этого математические логики придумали формальный аналог поня­тия “доказательство” - понятие вывода (дока­зательства, записанного на формальном язы­ке). Формальным аналогом понятия “теоре­ма” является понятие “выводимая формула” (т.е. формула, имеющая вывод). Формальный язык вместе с правилами построения выводов называется формальной системой.

    Пусть имеется некоторый набор высказываний, о которых можно говорить, что они истинны или ложны. Для обозначения используем латинские буквы А, В, С и т.д. Из высказываний образуются более сложные исчисления с помощью логических связок:

-        конъюнкция «и» (произведение)

-        дизъюнкция «или» (сумма)

-        импликация «если …, то …»

-        отрицание «неверно, что …»

-        для всех

-        существование

-        эквивалентность

    Истинность или ложность высказывания, образованного из каких-либо высказываний с помощью операций сложения, умножения, эквивалентности и импликации зависит только от распределения истинности и ложности между высказываниями, над которыми проводятся логические операции. Эту зависимость удобно описывать следующими таблицами, которые называют таблицами истинности логических операций (и – истинно, л – ложно)

 

 

А	В	А    В		А	В	А     В		А	В	А    В
И	И	И		И	И	И		И	И	И
И	Л	И		И	Л	Л		И	Л	Л
Л	И	И		Л	И	Л		Л	И	Л
Л	Л	Л		Л	Л	Л		Л	Л	Л

 

 

 

А	В	А    В		А	А
И	И	И		И	Л
И	Л	Л		Л	И
Л	И	И
Л	Л	И

 

 

    С помощью этих таблиц можно составить таблицу истинности и для более сложных утверждений, например: (( А   В )     (    А ))     В

 

А	В	А   В	А	( А   В )    (  А )	(( А   В )     (    А ))     В
И	И	И	Л	Л	И
И	Л	И	Л	Л	И
Л	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	Л	И

 

 

    Это утверждение всегда истинно, независимо от А и В. Это утверждение можно прочитать так: «Если верно или А, или В и А неверно, то верно В».

    Составим таблицу истинности для выражения: ( А  В )    ( А   В )

 

А	В	А   В	А	В	А   В	( А  В )    ( А   В )
И	И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	И	И	И
Л	И	И	И	Л	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л

 

 

    Составим таблицу истинности для выражения: В   А

 

А	В	В	А	В   А
И	И	Л	Л	И
И	Л	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	И

 

 

    Эта таблица совпадает с таблицей истинности для выражения А   В, значит, эти высказывания равносильны: А   В = В   А. В математике и ее приложениях приходится исследовать различные виды высказываний на равносильность. В случае, если высказывание составлены из небольшого числа простых, равносильность или неравносильность можно установить, построив таблицы истинности сложных высказываний и сравнив их. Таблица истинности высказывания, образованного из п простых высказываний, содержит 2  строк. Поэтому равносильность устанавливается таким способом: некоторое количество основных равносильностей проверяется на основании таблиц истинности, полученные равенства используются при доказательстве других равенств, как в элементарной алгебре используются законы:

а + в = в + а    - переместительный

а + ( в + с ) = ( а + в ) + с – сочетательный

а ( в + с ) = а в + а с  - распределительный

Таким образом получаются следующие равносильности:

1. А   В = В   А

2. А   В = В   А

3. А  ( В   С ) = ( А   В )   С

4. А  ( В   С) =  ( А   В)   С

5. А  ( В   С) =  ( А   В)   ( А   С )

Эти равносильности имеют аналоги в алгебре.

6. ( А   В)   ( А   С ) = А   В   С

7. А   В = А   В

8. А   В = А   В

9. А = А, А  А = А, А   А = А

10. А  А = М, А  А = Л

      А   М = М, А  М = А

      А   Л = А, А   Л = Л

Используя эти законы, можно решать логические задачи.

    В математической логике существуют основные аксиомы, которые формализуют определенные стандартные логические способы рассуждений, позволяют строить сложные логические выкладки, доказательства. Их называют правилами вывода. Например:

1. ( АÞВ, АÞС) Þ(АÞ(В  С)

2. (АÞ(В  С)) Þ(АÞВ)

3. (АÞ(В  С)) Þ(АÞС)

4. (АÞВ) Þ(АÞ(В  С)

5. (АÞС) Þ(АÞ(В  С))

6. (А, ВÞС; А, ДÞС; АÞ(В  Д)) Þ(АÞС)

7. (А, ВÞС) Þ(АÞ(В  С))

8. (АÞВ; АÞ(В  С)) Þ(АÞС)

9. (А,   В  ) Þ(ВÞА)

10. (АÞВ, АÞ  В) Þ(А  )

Правила 1-3 разъясняют смысл союза «и», правила 4-5 поясняют смысл союза «или», правило 6 формализует способ рассуждения разбором возможных случаев, правило 7 формализует прием эквивалентной переформулировки теоремы, позволяющий одно из условий теоремы помещать в ее заключение в виде посылки, 8 – логическое правило отделения, указывает, как можно освободиться от посылки в заключении. Правило 9 формализует правило рассуждения от противного. Правило 10 – это правило выведения противоречия для последовательности посылок.

    В математике часто используется прием «доказательство от противного». Оно заключается в следующем. Предполагают, что верно утверждение В, «противное», т.е. противоположное, тому утверждению А, которое требуется доказать. Далее, опираясь на это В, приходят к противоречию и тогда заключают, что если В неверно, то верно А.

    Теорема. Пусть даны треугольник и два его неравных угла. Требуется доказать утверждение А: против большего угла лежит большая сторона.

    Доказательство. Сделаем противоположное предположение В: сторона, лежащая в треугольнике против большего угла, меньше или равна стороне, лежащей против меньшего угла. Предположение В вступает в противоречие с ранее доказанной теоремой о том, что в любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а если стороны неравны, то против большей стороны лежит больший угол. Значит, предположение В неверно, а правильно утверждение А.

 

2.2. Примеры использования математической логики в юридической практике

 

В современной практике раскрытия и расследовании преступлений используются как различный математиче­ский аппарат, так и различные вычислительные  устрой­ства. Многообразны конкретные кри­миналистические задачи, для реализации которых могут быть использованы данные средства познания. Кроме того, математический аппарат и средства вы­числительной техники могут использоваться в различ­ных сочетаниях. С учетом этого на сегодня разработано множество частных методик решения криминалистических задач, отличающихся как по конкретному математическому аппарату, который в них используется, так и по непо­средственным целям его применения. Общей целевой функцией таких методик является объективизация процесса исследования и оценки полу­ченных результатов. Кроме того многие из них позволяют выявлять и использовать такие свойства объ­ектов познания, а точнее, характеризующие их призна­ки, которые без применения математико-кибернетиче­ских методов либо вообще нельзя выявить, либо их ана­лиз сопряжен с проведением огромного количества ру­тинных операций, проведение которых без применения вычислительной техники реально не осуществимо. При­мером тому могут служить методики исследования в це­лях идентификации личности, основанные на использо­вании аппарата теории вероятностей, математической статистики и аппарата проективной геометрии; методи­ки решения информационно-поисковых задач на основе «модус операнди», базирующиеся на аппарате матема­тической логики и использовании ЭВМ; методики диф­ференциации сходных почерков и установлении пола и возраста исполнителя рукописи, основанные на использовании теории распознавания образов, и др.

 

3.1. Основные определения и теоремы теории множеств

 

    Множество – это совокупность предметов или объектов, при этом предметы или объекты данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность. Предметы или объекты множества называются элементами множества. Обозначается так: А – множество, а – элемент множества

                               а   А – «а принадлежит множеству А»

                               а   А – «а не принадлежит множеству А»

Множество задается указанием характеристического свойства его элементов, которым обладают все элементы данного множества: «множество учеников данного класса», «множество решений уравнения х – 1 = 0» и т.д. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается     .

    Если любой элемент множества А принадлежит также множеству В, то множество А называется подмножеством множества В. В   А. Например, множество N натуральных чисел является подмножеством множества Z целых чисел: Z   N.

    Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В, называется пересечением множеств А и В: А   В. Например, А={0, 1, 3, 5}   В={0, 1, 2, 3, 4}

А   В={0, 1, 3}

    Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется объединением множеств А и В: А    В. Например,

{0, 1, 3, 5}  {0, 1, 2, 3, 4}={0, 1, 2, 3, 4, 5}.

    Множества задаются различными способами:

1)     перечислением элементов А={0, 2, 4, 6, 8, …}

2)     заданием условия В={х   0, где х    Z}, А={4п + 2, где п   N}

3)     заданием формулы В={ f (x)=             }

4)     А={абитуриенты, выдержавшие экзамен в ВУЗ}

    Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными. Это относится к конечным множествам. Количество элементов множества определяет размерность множества.

    Если каждому элементу множества А можно поставить в соответствие один и только один элемент множества В и наоборот, то такое соответствие называется взаимно-однозначным.

    Если между множествами А и В можно установить взаимно-однозначное соответствие, то такие множества называются равномощными (эквивалентными).

    Множество, для которого существует взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел, называется счетным. Счетными являются множества рациональных чисел, целых чисел.

    Два множества, в каждом из которых заданы композиции (операции) считаются тождественными или изоморфными, если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композициями изоморфны, то, изучая одно из них, мы узнаем свойства другого.

 

3.2. Использование классификации в близком Вам разделе теории права

   

    Одним из основных понятий в современной математике является понятие функции. Пусть Х и У – какие-то множества. Если каждому элементу х из множества Х, по некоторому правилу (способу, закону)  f, сопоставляется единственный элемент у из множества У, то говорят, что на множестве Х задана (или определена) функция f со значениями в У. Множество Х называется областью определения функции  f, а множество У – областью значений  f . Тот единственный элемент у из У, который соответствует х, обозначают f(х), т.е. у= f(х), и именуют значением функции  f на элементе х.

    Отображение – обобщенное понятие функции. Простой пример – отображение, которое каждому жителю планеты ставит в соответствие знак Зодиака, под которым тот родился. Говорится, что задано отображение f множества А в множество В, если указано правило, согласно которому каждому элементу х  А соответствует один вполне определенный элемент множества В, называемый образом элемента х и обозначается f(х). Отображение    множества А в множество В обозначается   f : А ®В или А  ®  В. При этом множество А называется областью определения отображения  f .

    Проекцию фигуры (или тела) в пространстве можно представить себе как  тень, отбрасываемую этой фигурой. Слово «проекция» и слово «проект» происходят от латинского слова  projectio - «бросание вперед». Составляя описание будущего здания, сооружения, механизма – его проект, чертят план или общий вид – проекцию. Проекция фигуры – это множество проекций всех отдельных точек фигуры, при этом разные точки могут проектироваться в одну. Пусть на плоскости задана прямая  l. Проекцией точки М на прямую l называется основание М` перпендикуляра ММ`, проведенного из М к этой прямой. Проекция на ось Ох точки (х, у) – это точка с координатой х; таким образом, проекцией графика функции у= f(х) на ось Ох служит область определение этой функции, на ось Оу – множество ее значений. Таким образом, проекцию можно рассматривать как отображение одного множества на другое.

    Понятие отображения или функции можно рассмотреть на примере систематизации нормативно-правовых актов. Например, в кодификации областью определения можно задать действующее законодательство, а областью значений будет являться совокупность новых актов, полученных путем всесторонней переработки и внесения изменений в действующее законодательство.

    Примером  классификации в правовой теории может служить подразделения системы права на крупные составные части – отрасли права (трудовое, гражданское и др.). особенностью данной классификации является регулирование общественных отношений соответствующими юридическими нормами, которые группируются в зависимости от предмета регулирования (определенного вида общественных отношений) в отрасли права.

 

4.1. Основные определения и теоремы вероятностей и математической статистики

 

    Теория вероятностей возникла в середине 17 века в связи с задачами расчета шансов игроков в азартных играх. При бросании кости «наудачу» выпадение какого-либо числа очков является случайным событием. При бросании кости имеется шесть исключающих друг друга равновозможных случаев. Классическое определение понятия вероятности – как отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех равновозможных случаев. Отношение числа появления события к числу испытаний называется частостью. Теория вероятностей является разделом математики, изучающим закономерности случайных массовых событий устойчивой частости. Понятие вероятности события определяется для массовых явлений или для однородных массовых операций. Однородная массовая операция состоит из многократного повторения подобных между собой единичных операций – испытаний. Возможные результаты единичной операции, или испытания, S называются случайными событиями. Случайное событие – это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти при испытании S. Пусть при некотором числе п испытаний событие А наступило т раз, т.е. т результатов оказались «удачными», т.е. событие А осуществилось, п-т результатов оказались «неудачными» – событие А не произошло. Отношение т/п числа «удачных» исходов к числу всех испытаний называется частостью события А. Вероятностью события А или вероятностью «удачного» исхода единичной операции называется среднее значение частости, т.е. среднее значение отношения числа «удачных» исходов к числу всех проведенных единичных операций (испытаний). Если вероятность события равна т/п, то при п испытаниях событие А может наступить и более чем т раз, и менее чем т раз, оно лишь в среднем наступает т раз, и в большинстве серий по п испытаний число появлений события А ведет близко к т, в особенности если п – большое число. Таким образом вероятность Р(А) есть некоторое постоянное число, заключенное между нулем и единицей: 0   Р(А)    1. Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то событие А называется частным случаем события В или А влечет за собой В. (А    В). Если А влечет В, а В влечет А, то эти события равносильны, т.к. они вместе наступают, или вместе не наступают.

    Событие (А и В) называется произведение событий А и В и обозначается АВ. Событие (А или В) называется суммой событий А и В и обозначается А+В. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначается А. Событие (А и В), А происходит, а В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается А – В. А – В = АВ. Определение суммы и произведения событий распространяется и на большее число событий. Некоторые правила алгебры сохраняются и для действий с событиями: это переместительный, распределительный и сочетательный законы. Два события А и В называются несовместимыми, если они не могут появиться совместно. Если А  + А + …+ А = Д, т.е. если хотя бы одно из событий А , А , …, А  непременно должно осуществиться, то говорят, что события А , А , …, А образуют полную группу событий. Если при этом А попарно несовместимы, то говорят, что события А , А , …, А образуют полную систему.

    Рассмотрим схему Бернулли. Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них удача имеет вероятность р, а неудача вероятность д=1-р. Тогда количество успешных испытаний Х из общего числа испытаний п есть случайная величина, которая может принимать п+1 значение : 0, 1, 2, …, п. Какова вероятность Р{Х=К} того, что в К испытаниях нам будет сопутствовать удача, а в остальных п-к – неудача? Выберем какие-нибудь конкретные к испытаний. Пусть это испытания с номерами i , i , …, i . Вероятность того, что испытание i закончится успешно, равна р. Аналогично, вероятность того, что испытание i будет успешно равна р и т.д. С другой стороны, вероятность того, что испытание j окажется неудачным, равна д ( j = i , j  = i  , …, j = i  ). Значит вероятность того, что испытание i  и  i … i  завершатся успехом, а все остальные – неудачей, равны  р д  , т.к. вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Всего таких вариантов существует С  .Поэтому вероятность того, что успешными будут какие-то к испытаний, а все остальные будут неудачны равна С  р  д  . Таким образом Р{Х=К}= Р (п)=

= С  р  д.

    Поясним применение схемы Бернулли на простом примере: какова вероятность того, что при десяти бросаниях монеты орел выпадет 5 раз? 8 раз?

п = 10, д = р = 0,5 – вероятность выпадения орла (р), решки (д)

Р (10) =      0,5  0,5    0,246

Р  (10) =    0,5  0,5   0,044

Схема Бернулли применима как для  п последовательно, так и для п одновременно проводимых испытаний. Например, какой полет безопаснее: на двухмоторном самолете или четырехмоторном, если вероятность выхода из стоя мотора р=0,001, причем двухмоторный самолет может лететь на 1 моторе, а четырехмоторный – на 3 и 2 моторах. Пусть д – вероятность безотказной работы двигателя. Вероятность катастрофы двухмоторного самолета: Р (2) = р, четырехмоторного – Р(4) + Р(3) = р  + 4 р  д, сравним эти два выражения. Предположим, р     р  + 4  р  д , очевидно 0  р  1, сократим на р и заменив д  на 1 – р получим, что вероятность разбиться на двухмоторном самолете будет меньше, если 3 р – 4 р + 1    0, это неравенство справедливо при 1/3  р  1, но р = 0,001  1/3, поэтому лететь на четырехмоторном самолете безопаснее.

 

4.2. Примеры неопределенности в правовой деятельности. Лотереи

 

    Примером неопределенности в правовой деятельности может являться  совершение преступления, при котором число подозреваемых достаточно велико. Для того, чтобы определить с наиболее высокой степенью вероятности лицо, совершившее преступление, необходимо использовать вероятностные методы, с помощью которых определяются различные характеристики лица, совершившего преступление. В их числе можно назвать: половые, физиологические, профессиональные, образовательные и другие признаки.

    Классическое определение вероятности позволяет вычислять вероятность выигрыша в лотереях.  Для этого удобно использовать такой вариант урновой схемы. Пусть в урне имеется N паров, из которых М шаров белые, а остальные N—M чёрные. Из урны случайно выбирают п шаров. Выбранное множество шаров назовём выборкой объёма п. Рассмотрим со­бытия А  = [в выборке содержится м белых и п — м чёрных шаров].

Числа N, М, п, м удовлетворяют неравенствам 0 М  N, 0  п  N, 0   м   М, 0  м  п. Вероятность события А  , равна                                                         (1)

Напомним, что

 

где    — число сочетаний из k элементов по  .

Формула (1) получается следующим образом. Общее число равновероятных исходов С  равно числу выборок объема n. Число шансов события А равно произведению числа сочетаний С  (т.е. числа сочетаний из М белых шаров в урне по м белых шаров в выборке) на число сочетаний С   (т. е. число сочетаний из N — М чёрных шаров в урне по п — м чёрных шаров в выборке). Отно­шение числа шансов события А  к общему числу ис­ходов и равно вероятности Р    .

 

Рассмотрим пример лотереи “Спортлото”. Желающий принять учас­тие в очередном тираже покупал карточку, на кото­рой следовало отметить б номеров из 49. Одну часть карточки игрок опускал в ящик “Спортлото”, а другую оставлял у себя. Во время тиража из урны с 49 шарами, помеченными номерами от 1 по 49, дос­тавали 6 любых шаров. Их номера и объявлялись выигрышными. Если среди номеров, отмеченных иг­роком, оказывались хотя бы три выигрышных, он по­лучал денежный приз. Причём его размер быстро возрастал с увеличением количества угаданных но­меров.

Обозначим через р вероятность того, что м от­меченных игроком чисел оказались выигрышными. Для вычисления р  , если м = 0, l,.., 6, используем формулу (1). Если считать, что шары с отмеченными игроком номерами белые, а остальные чёрные, то

 

Таким образом,

 

 

 

 

                      

Отсюда следует, что вероятность проигрыша равна р  + р + р  = 0,98136, вероятность самого ма­ленького выигрыша р = 0,01765, а вероятность са­мого крупного выигрыша р  ничтожно мала.

 

5.1. Основные определения и некоторые результаты теории принятия решений

 

Теория выбора и принятия решений исследует математиче­ские модели процессов принятия решений и их свойства. Ос­новной в ней является задача принятия решений, которая соот­ветствует широкому кругу практических ситуаций. Приведем примеры. На предприятии освободилась должность главного инженера. Задача директора — назначить главного инженера. Строительному тресту поручено выполнить комплекс работ. Задача управляющего трестом - распределить работы по строи­тельным управлениям. Транспортному агентству необходимо перевезти заданный объем грузов. Задача диспетчера - определить маршрут перевозок. В рассмотренных и других сходных ситуациях общим является следующее: имеется. множество вариантов (кандидатов на должность, назначений работ, маршрутов), нужно выделить из  него некоторое подмножество, в частном случае -один вариант. Выделение требуемых вариантов производится на основе представления директора, управляющего, диспетчера об их качестве. Представление о качестве вариантов характеризуют принцип оптимальности.

Указанные элементы—множество вариантов и принцип опти­мальности - позволяют ввести следующие понятия. Задачей при­нятия решений назовем пару ( W,ОП>, где W - множество вариан­тов, ОП—принцип оптимальности; решением задачи <W, ОП> - множество W   W , полученное с помощью принципа оптималь­ности ОП.

Отсутствие хотя бы одного из указанных элементов лишает смысла задачу в целом. Если нет множества W, то выделять ре­шение W  не из чего. Если нет принципа оптимальности, то найти решение невозможно.

Математическим выражением принципа оптимальности ОП слу­жит функция выбора С  . Она сопоставляет любому подмножеству Х  W его часть С  (Х). Решением  W исходной задачи является, множество С  (W).

Задачи принятия решений различают в зависимости от имею­щейся информации о множестве W и принципе оптимальности ОП. В общей задаче принятия решений как W, так и ОП могут быть неизвестными. Информацию, необходимую для выделения W  , получают в процессе решения. Задачу с известным W назовем задачей выбора, задачу с известными W и ОП - общей задачей опти­мизации. Таким образом, задача выбора и задача оптимизации являются частными случаями общей задачи принятия решении. Особенность развиваемого здесь подхода к решению задачи выбора состоит в том, что он в общем случае не требует полного восста­новления принципа оптимальности, а позволяет ограничиться только информацией, достаточной для выделения W . Общая задача опти­мизации может не предполагать максимизации одной или несколь­ких числовых функций. Ее смысл состоит в выделении множества лучших элементов, т.е., в вычислении значения С (W) при задан­ных W и С  .

Элементы множества W называют альтернативами или вариантами. Принцип оптимальности задает понятие лучших альтернатив: лучшими считают альтернативы, принадлежащие С  (W).

При определении маршрута перевозок альтернативами явля­ются различные маршруты. Диспетчер учитывает следующие свой­ства: протяженность загрузка, энергоемкость, безопасность, стои­мость, техническое обслуживание и ряд других. Техническое об­служивание на данном маршруте зависит от числа и расположе­ния станций обслуживания, их мощности, загрузки и сроков выпол­нения ремонтных работ. Таким образом, техническое обслуживание является аспектом, агрегирующим указанные свойства Стои­мость маршрута складывается из стоимости топлива, стои­мости обслуживания транспортных средств, зарплаты водителей.

     Процесс решения задачи W, ОП> организуют по следующей схе­ме: формируют множество W, т.е. подготавливают альтернативы, а затем решают задачу выбора. При назначении па должность сна­чала готовят список кандидатов, а затем назначают лицо из этого списка. В процессе формирования множества W используют условия возможности и допустимости альтернатив, которые определяются конкретными ограничениями задачи. 

Итак, общая задача принятия решений сводится к решению двух последовательных задач выбора. В процессе решения этой задачи участвуют: лицо, принимающее решение, эксперты, кон­сультанты.

Лицом, принимающим решения, называют человека, имеющего цель, которая служит мотивом постановки задачи и поиска ее решения. Он является компетентным специалистом в своей области и обладает опытом деятельности в ней, наделен необходимыми полномочиями и несет ответственность за принятое решение. В задаче принятия решений основная состоит в выделении W . В рассматриваемых процедурах принятия решении дает информацию о принципе оптимальности.

Экспертом называют специалиста, имеющего информацию о рассматриваемой задаче, но не несущего непосредственной ответ­ственности за результат ее решения. Эксперт дает оценки альтер­натив, необходимые для формирования и решения задачи выбора.

Консультантом называют специалиста по теории выбора и принятия решений. Консультант разрабатывает модель исходной задачи, процедуру принятия решения, организует работу  экспертов при поиске решения.

 

5.2. Принятие решения в юриспруденции, в условиях неопределенности

 

    В качестве примера принятия решения в правовой сфере в условиях неопределенности можно назвать применение правовых обычаев. Под правовым обычаем (обычным правом) следует понимать нормы, которые сложились в обществе независимо от государственной власти и приобрели в сознании общества обязательное значение. Действие обычного права начинается там, где молчит закон.

    Неопределенность в праве перекрещивается с явлением противоречивости правовых норм. Неопределенность образуется там, где имеет место радикальная противоречивость норм одинаковой силы, когда одна из них “уничтожает другую”. Наилучшим, наиболее целесообразным и правильным путем по устранению неопределенности в законодательстве, является деятельность компетентных нормотворческих органов, призванных каждый в своей области, своевременно устранять все недостатки правового регулирования. Каждый нормотворческий орган правомочен на устранение неопределенности в своих собственных актах, изданных в соответствии с его компетенцией.