1.     Введение

 

    Дату появления математики как науки можно определить довольно точно – 6 в. до н. э. На протяжении 20-30 предыдущих веков народы Древнего Востока сделали немало открытий в арифметике, геометрии и астрономии, но единой математической науки они не создали. Грекам же это удалось в течение одного столетия, что до сих пор кажется чудом. Много интересных известий приходило из государств Ближнего Востока – Египта и Ассирии от путешественников. Такой человек возбуждал живое любопытство сограждан. Но не во всем ему верили на слово. Например, он говорил, будто в Египте стоят рукотворные холмы из камня – гробницы древних царей – высотой в 200 или 300 локтей. Неужели он сам измерил их высоту? Каким образом? Пусть докажет, что его слова – правда! Первым из греков, кто научился убедительно отвечать на подобные вопросы, был Фалес Милетский. Фалес (около 625 – около 547 до н. э.) родился и вырос в городе Милете, потому его и называют Фалесом Милетским. На собственном корабле, груженном греческими товарами, Фалес плавал по Средиземному морю. Бывал Фалес в Египте, Ассирии, Вавилоне, где познакомился с математикой и астрономией, кроме того, он был философом, законодателем. Его считают первым из семи великих мудрецов древности – основателей греческой культуры и науки. Но математика стала любимым занятием Фалеса. Он был первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, что превратило геометрию в подлинную науку. Для доказательства Фалес использовал «движения». Если две фигуры точно совместятся друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны. Именно таким путем Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Например, Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника. А рассуждал он так: равнобедренный треугольник симметричен относительно биссектрисы угла при вершине, а значит, при перегибании чертежа по биссектрисе углы при основании совпадут.

    Фалес превратил древнюю и священную ученость в предмет споров и доказательств. Искушенные в спортивных состязаниях греки не знали до той поры сложных интеллектуальных игр вроде шахмат. С легкой руки Фалеса геометрия оказалась первой такой игрой. Вскоре она стала почетным занятием, как бы национальным видом спорта – наравне с политикой или Олимпийскими играми. В геометрии появились мастера, которые превзошли Фалеса и стали открывать такие математические истины, которые даже не снились их предшественникам.

 

2.     Виды симметрий

 

1.     Симметрия относительно точки (центральная симметрия)

 

    Симметрия относительно точки определяется так. Пусть О – фиксированная точка и Х – произвольная точка. Точка Х  называется симметричной Х относительно точки О, если точки Х, О, Х  лежат на одной прямой и ОХ=ОХ . Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. На рисунке 1 точки Х и Х  , У и У  , Z и Z  симметричны друг другу относительно точки О.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

    Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры F в фигуру F, при котором каждая ее точка Х переходит в Х , симметричную Х относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. Например, на рисунке 2     А В С симметричный    АВС относительно центра.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

    Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру в себя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О – ее центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симмеричной фигурой с центром симметрии в точке пересечения его диагоналей, а также окружность. В пространстве центрально-симметричными фигурами является куб, сфера, параллелепипед.

 

    2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия)

   

    Пусть  - l фиксированная прямая (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3

Точка Х  называется симметричной точке Х относительно прямой l, если прямая ХХ  перпендикулярна прямой  l и ОХ=ОХ , где О – точка пересечения прямых ХХ  и l. Если точка Х лежит на прямой  l, то симметричная ей точка есть сама точка Х. Преобразование фигуры F  в  F, при котором каждая точка Х переходит в точку Х , симметричную относительно прямой l, называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и F называются симметричными относительно прямой l. Если преобразование симметрии относительно прямой l переводит фигуру F в себя, то фигура F называется симметричной относительно прямой l, а прямая l называется осью симметрии фигуры. Например, ромб – симметричная фигура относительно своих диагоналей, окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр. В пространстве симметричные фигуры – это прямоугольный параллелепипед, конус, правильная четырехугольная пирамида.

 

    3. Свойства симметрии

   

    Преобразование фигуры  F в фигуру F называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки А и В фигуры F в точки А  и В  фигуры  F так, что АВ=А В .

    Преобразование симметрии относительно точки является движением.

    Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

    При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

    При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, плоскости – в плоскости, а также сохраняются углы между полупрямыми.

    Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.

 

3. Практическое применение осевой и центральной симметрий

 

    1.Применение осевой и центральной симметрий в доказательстве теорем

 

    Попробуем доказать некоторые известные теоремы, используя свойства осевой и центральной симметрий.

    Теорема 1. Вертикальные углы равны.

    Доказательство. Рассмотрим симметрию относительно центра О. Из определения вертикальных углов следует, что луч ОВ симметричен лучу ОС, а луч ОА симметричен лучу ОD . Следовательно, углы , образованные этими лучами, тоже симметричны. Поэтому угол АОВ равен углу СОD . Теорема доказана.

 

Рис. 4

    Теорема 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    Доказательство. В данном треугольнике проведем биссектрису из вершины В и рассмотрим симметрию относительно оси ВК. Так как биссектриса делит угол АВС на два равных угла, то можно утверждать, что угол АВК симметричен углу КВС относительно оси ВК. Следовательно, лучи ВА и ВС симметричны. По условию теоремы на этих лучах отложены равные отрезки, следовательно, они тоже будут симметричны относительно оси ВК. Таким образом, точка А симметрична точке С. Следовательно, отрезок АК равен отрезку КС. Получили два треугольника, симметричные относительно оси ВК. Эти треугольники равны. Поэтому симметричные углы в полученных треугольниках тоже равны. Угол ВАС

 

равен углу ВСА. Теорема доказана.

 

Рис. 5

    2. Применение осевой и центральной симметрий при решении задач

 

    Задача 1. На сторонах параллелограмма АВСD построены вне его равносторонние треугольники АВМ, ВСN, СDР, АDQ. Доказать, что МNРQ – параллелограмм.

    Решение. Обозначим через О центр симметрии параллелограмма АВСD (рис.6).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

Так как отрезки АВ и СD симметричны относительно точки О, то треугольники АВМ и СDР симметричны относительно этой точки. Следовательно, точки М и Р симметричны относительно О, т.е. О – середина отрезка МР. Аналогично, О – середина отрезка NQ. Из этого вытекает, что МNРQ  - параллелограмм.

    Задача 2. Через данную точку О провести прямую, отрезок которой между данной прямой d и данной окружностью p делился бы в точке О пополам.

 

    Решение. На рис. 7 показан ответ. Точка М получается из N симметрией относительно точки О (поскольку О – середина отрезка М ).

 

Рис.7                                                                           Рис.8

Так как МÎр, то точка  принадлежит окружности р , получающейся из р симметрией относительно точки О (рис.8). Следовательно, N - точка пересечения окружности р и прямой d. Проведенное рассуждение делает понятным решение задачи. Постоим окружность р , получающуюся из р симметрией относительно точки О, и обозначим через N точку пересечения окружности р и прямой d. Через М обозначим точку, образом которой при этой симметрии является N. Тогда прямая М – искомая. Так как пересечение р и  может состоять из двух точек, то задача может иметь два решения.

    Задача 3. Продолжения боковых сторон АD и ВС равнобедренной трапеции АВСD пересекаются в точке L. Докажите, окружности, описанные около треугольников АСL и ВDL, пересекаются в центре окружности, описанной около данной трапеции.

    Решение. Треугольник АВL – равнобедренный (рис.9). Его высота LМ является его осью симметрии. Красная окружность, проходящая через точки А, С, L, есть отображение синей окружности, проходящей через точки В, D, L,  при симметрии относительно оси LМ. При этом точка К пересечения синей окружности с осью симметрии LМ отображается на себя – точку пересечения красной окружности с осью симметрии. Поэтому при данной симметрии дуга КС симметрична дуге КD, а дуга АК симметрична дуге КВ. кроме того, дуга АК равна дуге КС, откуда следует равенство этих четырех дуг. Поэтому равны и хорды, стягивающие эти дуги, так что точка К является центром окружности., описанной около трапеции АВС .

 

 

Рис. 9

    Задача 4. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает его стороны в точках А, В, С и D(рис.10). Доказать, что хорда АВ равна хорде СD.

 

    Решение. Обозначим через Р одну из сторон угла, а через Q - круг, границей которого является рассматриваемая окружность. При симметрии относительно биссектрисы угла луч Р переходит в луч Р, который образует вторую сторону угла, а круг Q переходит в себя. Отрезок АВ переходит в отрезок СD, и поэтому хорда АВ равна хорде СD.

 

 

Рис. 10

    Задача 5. Через точку А, данную внутри угла (меньшего, чем развернутый), провести прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

    Решение. Рассмотрим симметрию относительно точки А. Обозначим через Р и К прямые, на которых лежат стороны угла (рис. 11). В результате симметрии относительно точки А прямая Р переходит в параллельную ей прямую Р , которая пересекает вторую сторону угла в точке С. Так как С принадлежит Р , то точка В, симметричная С, принадлежит прямой, которая симметрична Р , то есть В принадлежит Р. Таким образом, точки В и С симметричны относительно А, и поэтому отрезок СВ делится в точке А пополам, то есть прямая СВ - искомая.

 

 

 

Рис. 11

4. Заключение

 

    Идея симметрии, движение, вообще преобразование стала неотъемлемой составляющей современной математики и физики. Все предложения геометрии могут быть доказаны как с помощью равенства треугольников, так и с помощью движений. В физике важную роль играет изучение кристаллических решеток. Во-первых, симметрия во многом определяет внешнюю форму кристалла, его огранку. Во-вторых, от симметрии зависят физические свойства кристалла.

    Симметрия широко распространена в природе. Ее можно наблюдать в форме листьев, цветов и растений, в расположении органов животных. В морозный день хорошо видны изящные шестиугольные узоры снежинок. Красота узора математически выражается его симметричностью. Он имеет 6 осей симметрии и, кроме того, обладает поворотной симметрией шестого порядка: совмещается с самим собой при повороте вокруг центра на углы 60º·к (к=1, 2, …, 6).

    Симметричность творений природы имеет большое влияние и на художественное творчество человека. Орнаменты, которыми издавна украшают архитектурные сооружения, как правило, имеют симметричные части. Самосовмещения изображений (симметрии, повороты, параллельные переносы) играют важную роль в творчестве дизайнеров, придающих техническим конструкциям современную красивую форму.

 

 

 

  

 

 

 

 

Приложение

Примеры симметрий в природе, архитектуре, технике